影と相似-3-1（渋谷教育学園幕張中学2016/点光源でひし形面の角柱の影をつくり、更に切断して影を変える）

1 問題
2 解答

問題

問題（渋谷教育学園幕張中学2016/点光源でひし形面の角柱の影をつくり、更に切断して影を変える）

図のような四角柱ABCD-EFGHがあり、底面は1辺が4cmのひし形です。また、点Pと点Qはそれぞれ辺AB,BCの真ん中の点で、点Rは辺BF上にありBRの長さが1cmです。この四角柱を平面上に置き、点Dから6cm真上のところにある電球Oでこの四角柱に光を当てます。

このとき、次の各問いに答えなさい。
なお、必要があれば、正三角形の高さは、1辺の長さの0.87倍として計算しなさい。

（1）平面上にできるかげ（図のしゃ線部分）の面積は何cm²ですか。

（2） 3点P,Q,Rを通る平面でこの四角柱を切り、点Bを含む立体を取りのぞくと、平面上にできるかげの面積は何cm²になりますか。

（3）さらに3点P,Q,Fを通る平面でこの立体を切り、点Rを含む立体を取りのぞくと、平面上にできるかげの面積は何cm²になりますか。

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解答

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このとき、次の各問いに答えなさい。
なお、必要があれば、正三角形の高さは、1辺の長さの0.87倍として計算しなさい。

（1）平面上にできるかげ（図のしゃ線部分）の面積は何cm²ですか。

（2） 3点P,Q,Rを通る平面でこの四角柱を切り、点Bを含む立体を取りのぞくと、平面上にできるかげの面積は何cm²になりますか。

（3）さらに3点P,Q,Fを通る平面でこの立体を切り、点Rを含む立体を取りのぞくと、平面上にできるかげの面積は何cm²になりますか。

（1）

【点Bから点Cを見た平面図】
点Aから点Cを見た平面図も同じ形になり、点Bから点Aを見た平面図はOHを対象の軸として線対象な図形となる。
6：4＝3：□、
□＝12÷6＝2cm

【真上から見た図】より、ひし形と影をあわせた図形もひし形とわかる。
かげの面積＝ひし形の面積×$ \displaystyle \frac{6}{4} $×$ \displaystyle \frac{6}{4} $－ひし形の面積＝ひし形の面積×（$ \displaystyle \frac{9}{4} $－1）
ひし形の面積＝4×4×0.87×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×2＝16×0.87
かげの面積＝16×0.87×$ \displaystyle \frac{5}{4} $＝17.4cm²

（答え）　17.4cm²

（2）

黄色の部分が切断面で、真上から見ると正三角形の半分が2つ接した形になっている。

PRの傾斜よりORの傾斜の方が大きいので、点Rによってかげの先端がつくられる。
7：4＝2：△、
△＝8÷7＝$ \displaystyle \frac{8}{7} $cm

オレンジの部分は図形の切断によりかげが減ったところで、1辺3cmの正三角形の一部になっている。
よって、減ったかげの面積は（3×0.87）×（2－$ \displaystyle \frac{8}{7} $）×$ \displaystyle \frac{1}{2} $×2＝2$ \displaystyle \frac{83}{350} $
求めるかげの面積＝17.4－2$ \displaystyle \frac{83}{350} $＝15$ \displaystyle \frac{57}{350} $

（答え）　15$ \displaystyle \frac{57}{350} $cm²

（3）