円と正方形-3-1

円と正方形-3-1(城北埼玉中学2022/問(3)を見つけるのが難)

円と正方形-3-1

問題

 問題(城北埼玉中学2022/問(3)を見つけるのが難)

円と正方形-3-1右の図において,点Oは半径5cmの半円の中心です。また,四角形ABCDは正方形です。AIとDHは垂直に交わり,AIとIJは45゜で交わります。
次の問いに答えなさい。

(1) AHとHIの比を求めなさい。
(2) 四角形ABCDの面積を求めなさい。
(3) OCとCPの比を求めなさい。
(4) 三角形DHPの面積を求めなさい。


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解答

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円と正方形-3-1右の図において,点Oは半径5cmの半円の中心です。また,四角形ABCDは正方形です。AIとDHは垂直に交わり,AIとIJは45゜で交わります。
次の問いに答えなさい。

(1) AHとHIの比を求めなさい。
(2) 四角形ABCDの面積を求めなさい。
(3) OCとCPの比を求めなさい。
(4) 三角形DHPの面積を求めなさい。

 


 

円と正方形-3-1(1)
AD:DI=1:2で△AHDと△DHIと△ADIは相似なことより、AHの長さを①とするとHD=②、HI=④、よって、AH:HI=1:4。

(答え) 1:4

 

円と正方形-3-1(2)
問(1)より、⑤=10cm,AH(①)=2cm,DH(②)=4cm
四角形ABCDの面積=2×4×2+2×2=20cm2

(答え) 20cm2

 

円と正方形-3-1(3)
問(1)と同様に考え、㋐の2辺を❶:❷とすると、㋒の2辺は❸:❹となる。
㋐の面積を❶×❷=$ \fbox{2} $、㋒の面積を❸×❹=$ \fbox{12} $とする。
㋑と㋒は相似で辺の比が1:3なので、㋑の面積は$ \fbox{12} $×$ \displaystyle \frac{1}{3} $×$ \displaystyle \frac{1}{3} $=$ \fbox{\( \displaystyle \frac{4}{3} \)} $
㋐の面積:㋑の面積=$ \fbox{2} $:$ \fbox{\( \displaystyle \frac{4}{3} \)} $=3:2
よって、OC:CP=3:2

(答え) 3:2

 

円と正方形-3-1(4)
問(3)の比を使い、比をふりなおし、各面の面積を求める。
㋐の面積=20×$ \displaystyle \frac{1}{4} $=5cm2
㋑の面積=5×$ \displaystyle \frac{⑤}{③} $=$ \displaystyle \frac{25}{3} $cm2
㋒の面積=5×$ \displaystyle \frac{⑥}{③} $=10cm2
AOPDの面積=18$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm2

 

円と正方形-3-1㋓の面積=2×4÷2=4cm2
㋔の面積=㋑×$ \displaystyle \frac{3}{5} $=5cm2
三角形DHPの面積=18$ \displaystyle \frac{1}{3} $-4-5=9$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm2

(答え) 9$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm2

 

 

hajizo
ではまた~