円と正方形-3-1（城北埼玉中学2022/問（3）を見つけるのが難）

問題

解答

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右の図において，点Oは半径5cmの半円の中心です。また，四角形ABCDは正方形です。AIとDHは垂直に交わり，AIとIJは45゜で交わります。
次の問いに答えなさい。

（1） AHとHIの比を求めなさい。
（2） 四角形ABCDの面積を求めなさい。
（3） OCとCPの比を求めなさい。
（4） 三角形DHPの面積を求めなさい。

 

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（1）
AD：DI＝1：2で△AHDと△DHIと△ADIは相似なことより、AHの長さを①とするとHD＝②、HI＝④、よって、AH：HI＝1：4。

（答え）　1：4

 

（2）
問（1）より、⑤＝10cm，AH（①）＝2cm，DH（②）＝4cm
四角形ABCDの面積＝2×4×2＋2×2＝20cm²

（答え）　20cm²

 

（3）
問（1）と同様に考え、㋐の2辺を❶：❷とすると、㋒の２辺は❸：❹となる。
㋐の面積を❶×❷＝$ \fbox{2} $、㋒の面積を❸×❹＝$ \fbox{12} $とする。
㋑と㋒は相似で辺の比が1：3なので、㋑の面積は$ \fbox{12} $×$ \displaystyle \frac{1}{3} $×$ \displaystyle \frac{1}{3} $＝$ \fbox{\( \displaystyle \frac{4}{3} \)} $
㋐の面積：㋑の面積＝$ \fbox{2} $：$ \fbox{\( \displaystyle \frac{4}{3} \)} $＝3：2
よって、OC：CP＝3：2

（答え）　3：2

 

（4）
問（3）の比を使い、比をふりなおし、各面の面積を求める。
㋐の面積＝20×$ \displaystyle \frac{1}{4} $＝5cm²
㋑の面積＝5×$ \displaystyle \frac{⑤}{③} $＝$ \displaystyle \frac{25}{3} $cm²
㋒の面積＝5×$ \displaystyle \frac{⑥}{③} $＝10cm²
AOPDの面積＝18$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm²

 

㋓の面積＝2×4÷2＝4cm²
㋔の面積＝㋑×$ \displaystyle \frac{3}{5} $＝5cm²
三角形DHPの面積＝18$ \displaystyle \frac{1}{3} $－4－5＝9$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm²

（答え）　9$ \displaystyle \frac{1}{3} $cm²