相似な図形-2-1（灘中学2012/相似を使う良問）
問題 問題（灘中学2012/相似を使う良問） 合同な2つの三角形を右の図のように置きます。 このとき， ABの長さは□cmです。 解答 解答を開く 合同な2つの三角形を右の図のように置きます。 このとき， ABの長さは□cmです。 補助線を追加し、各点を点C～点Jとおく。 角EFHと角AHFは錯角の関係になるのでEFとHAは平行となる。 […]
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演習問題
面積比-2-1（渋谷教育学園幕張中学2018/補助線を見つけ、相似な三角形から面積比を求める）
問題 問題（渋谷教育学園幕張中学2018/補助線を見つけ、相似な三角形から面積比を求める） 次の各問いに答えなさい。 図1の四角形BCDEは平行四辺形で、AB：BC＝2：3です。 （1） DE：EFを、もっともかんたんな整数の比で表しなさい。 （2） 三角形CDHの面積は、三角形EGHの面積の何倍ですか。 解答 解答を開く 次の各問いに答えなさい。 図1の四角形BCDEは平行四辺 […]
容器の水-2-2（立教新座中学2009/水の入った容器に沈み切るまで四角柱を入れ続ける）
問題 問題（立教新座中学2009/水の入った容器に沈み切るまで四角柱を入れ続ける） 図1の四角柱の形をした容器に水が入っています。そこに，図2の四角柱の形をした棒をまっすぐ底がつくまで入れます。棒を1本入れたとき，棒の一部は水面から出ていて，水面の高さは1cm高くなりました。 次の問に答えなさい。 ① はじめの水面の高さを求めなさい。 ② 棒を何本入れると，入れた棒すべてが完全に水の中に入ります […]
容器の水-2-1（成蹊中学2016/容器を45゜傾けた時の残った水の体積）
問題 問題（成蹊中学2016/容器を45゜傾けた時の残った水の体積） 次の問いに答えなさい。 （1） 図5のように縦2cm, 横3cm,高さ5cmの直方体の容器があります。 この容器いっぱいに水を入れ，図6のように辺EFを床につけた状態でこの容器を45゜傾けました。容器の中に残った水の体積は何cm3ですか。 （2） 図7の直方体の容器は体積が360cm3で，辺QUの長さは辺QRの長さの3倍です。 […]
年令算-2-1（成城中学2021/最小公倍数で数直線の長さを合わせる方法）
問題 問題（成城中学2021/最小公倍数で数直線の長さを合わせる方法） 現在，子ども2人の年令の合計と，お父さんの年令の比は5：12です。2年後にはこの比が1：2になります。現在のお父さんの年令は何オですか。 解答 解答を開く 現在，子ども2人の年令の合計と，お父さんの年令の比は5：12です。2年後にはこの比が1：2になります。現在のお父さんの年令は何オですか。 ① […]
連比-2-1（ラ・サール中学2006/連比を使って面積比を求める）
問題 問題（ラ・サール中学2006/連比を使って面積比を求める） 左図の台形 ABCD は，ADとBC が平行で，AD=6cm，BC=9cmです。辺 AB上に点 Pをとると，三角形PCDと台形ABCDの面積比が5：9でした。 このとき、次の問いに答えなさい。 （1） 点 P をとおり，ADに平行な直線と辺CDとの交点をQとするとき，PQの長さを求めなさい。 （2） AP：PBを最も […]
立体の切断-2-1（駒場東邦中学2014/2度切断した立方体の展開図）
問題 問題（駒場東邦中学2014/2度切断した立方体の展開図） 図のような一辺の長さが2cmの立方体をいくつかの平面で切って作られる立体について考えます。 この立方体を3点A，C，Fを通る平面と3点A，C，Hを通る平面で切って，面EFGHを含む方を1つめの立体とします。 2つめの立体は，この立方体を3点A，C，Fを通る平面，3点A，C，Hを通る平面，3点B，D，Eを通る平面と3点B […]
回転体-2-1（世田谷学園中学2016/三角形を回転させた三角すいの表面積と体積）
問題 問題（世田谷学園中学2016/三角形を回転させた三角すいの表面積と体積） 下の図1は直角三角形ABCに，点Cを通り辺ABに平行な直線Lをひいたものです。また，図2は図1の直角三角形ABCに，AC =DCとなるように直角三角形ABDをつけ加えたものです。このとき，次の間いに答えなさい。（円周率は3.14とする） （1） 図1において， 三角形ABCを直線Lを軸として1回転させてできる立体の表 […]
立体の積み重ね-2-2（灘中学2012/積み木問題の対処方法）
問題 問題（灘中学2012/積み木問題の対処方法） 1辺の長さが5cmの立方体の積み木を何個か積んで立体を作りました。この立体は，前から見ても左から見ても図1のように見え，真上から見ると図2のように見えました。この立体に使われた積み木の個数は最も少なくて[ ① ]個， 最も多くて[ ② ]個です。 解答 解答を開く 1辺の長さが5cmの立方体の積み木を何個か積んで立 […]
立体の積み重ね-2-1（法政大学中学2020/積み重ねた立方体を真正面と真上から見る）
問題 問題（法政大学中学2020/積み重ねた立方体を真正面と真上から見る） 1辺が1cmの立方体をすきまなく積み重ねて，右の図のような立体をつくりました。次の問いに答えなさい。 （1） 立方体の数は何個以上何個以下といえますか。 （2） 立方体の数がもっとも多い個数となるとき，この立体の表面積を求めなさい。 解答 解答を開く 1辺が1cmの立方体をすきまなく積み重ね […]
展開図-2-1（浦和明の星女子中学2014/立方体を3つ積んだ図形の展開図）
問題 問題（浦和明の星女子中学2014/立方体を3つ積んだ図形の展開図） 机の上に立体が置かれていて，下の図（ア）はその立体の見取図です。下の図（イ）はその立体の展開図ですが，折り目となる線は入っていません。また，斜線の部分は机と接していた面の位置を表しています。 図（ア）の黒く塗（ぬ）られた3つの面は展開図のどの位置になりますか。その面の位置を解答用紙の図に〇印を3つ入れて答えなさい。 […]
すい体-2-1（大阪星光学院中学2015/水の入った円柱の容器に円すいを沈める）
問題 問題（大阪星光学院中学2015/水の入った円柱の容器に円すいを沈める） 右の図のような，底面の半径8cm, 高さ18cmの円柱の容器に，高さ17cmのところまで水が入っています。 ここに，底面の半径8cm, 高さ24cmの円すいを，矢印の向きに沈（しず）めていきます。 円周率を3.14として，次の問に答えなさい。 （1） 水が容器からこぼれ始めるとき，円すいは水に何cm沈んでいますか。求め […]
柱体-2-1（富士見中学2018/面の比から体積と表面積を求める）
問題 問題（富士見中学2018/面の比から体積と表面積を求める） 図のような，面ABCDと面BFEAの面積の比が5:3で， 辺BCの長さが5cmの直方体があります。 次の間いに答えなさい。 （1） 直方体のすべての辺の長さの和が48cmであるとき，この直方体の体積を求めなさい。 （2） 直方体の表面積が70cm2であるとき，この直方体の体積を求めなさい。 （3） 直方体の体積が90cm3であると […]
転がる図形-2-2（横浜共立学園中学2011/4分の3円の周りを転がる小さな円）
問題 問題（横浜共立学園中学2011/4分の3円の周りを転がる小さな円） 半径6cm, 中心角270゜のおうぎ形があります。下の図のように，半径2cmの円が，おうぎ形の周りを矢印の方向におうぎ形に接しながら1周して，元の位置に戻ります。 次の□に当てはまる数を求めなさい。（円周率は3.14とします。） （1） おうぎ形の周のうち，円と接することができる部分の長さは□cmです。 （2） 円の中心が […]
転がる図形-2-1（麻布中学2011/円の動ける範囲、普段から作図は丁寧に）
問題 問題（麻布中学2011/円の動ける範囲、普段から作図は丁寧に） 図１のように，一辺が１ｃｍの正三角形を底面とする三角柱が平面の上に固定されていて，半径１ｃｍの円形の輪が，三角柱が内部にくるように平面上に置かれています。 この輪を平面上で動かすことを考えます。図２は輪が動く様子を真上から見たものです。 （１） 輪が動けるところをすべて動いたとき，輪が通過した剖分を，図中に境界となる線をかいた […]
巻き付くひも-2-1（東邦大学付属東邦中学2016/八面体の頂点につながったヒモが届く範囲）
問題 問題（東邦大学付属東邦中学2016/八面体の頂点につながったヒモが届く範囲） 右の図のような、大きさの等しい正三角形を八つ合わせてできる立体ABCDEFがあります。BDの長さは4cmです。頂点Bに、この立体の1辺と等しい長さのひもの先端をつけました。 このとき、次の問いに答えなさい。 （1）この立体の体積を求めなさい。 （2）この立体の表面上で、ひものもう一方の先端（せんたん）Pが届く範囲 […]
求積の工夫-2-2（雙葉中学2010/半円と二等辺三角形を使った求積問題）
問題 問題（雙葉中学2010/半円と二等辺三角形を使った求積問題） 図は、半円と二等辺三角形を組み合わせたものです。しるしをつけた角は直角です。（ア）の部分の面積と（イ）の部分の面積の合計は326.25cm2です。（ア）の部分の面積は何cm2ですか。円周率は3.14です。 解答 解答を開く 図は、半円と二等辺三角形を組み合わせたものです。しるしをつけた角は直角です。 […]
求積の工夫-2-1（共通する面を利用して面積を求める）
問題 問題（共通する面を利用して面積を求める） 下の図は、正方形と、正方形の辺と同じ長さの辺を持つ直角三角形をピッタリと合わせ、その中に直線を引いたものです。四角形ABFEの面積が216cm2、三角形CDFの面積が54cm2のとき、台形ABCDの面積を求めなさい。 解答 解答を開く 下の図は、正方形と、正方形の辺と同じ長さの辺を持つ直角三角形をピッタリと合わせ、その […]
等積移動-2-1（図形の中に正三角形を見つける問題）
問題 問題（図形の中に正三角形を見つける問題） 図の様な半径1cmの円があり、どの円も他の円の中心を通ります。色の付いた部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。 解答 解答を開く 図の様な半径1cmの円があり、どの円も他の円の中心を通ります。色の付いた部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。 […]
円とおうぎ形-2-1（正五角形の中のおうぎ形が重なる部分）
問題 問題（正五角形の中のおうぎ形が重なる部分） 図の様に、正五角形と、その各頂点に中心が重なる様に円の一部を書きました。色の付いた図形の周りの長さを求めなさい。ただし、正五角形の1辺は3cm、円周率は3.14とします。 解答 解答を開く 図の様に、正五角形と、その各頂点に中心が重なる様に円の一部を書きました。色の付いた図形の周りの長さを求めなさい。ただし、正五角形の1辺は3cm […]
円と正方形-2-1（複数の円と正方形の中心が同じとき）
問題 問題（複数の円と正方形の中心が同じとき） 図の様に、3種類の大きさの円と正方形があり、正方形の2つの対角線の交点と円の中心は全て同じ位置にあります。1番大きな円の面積が56.52のとき、1番小さな正方形の周りの長さを求めなさい。ただし円周率は3.14とします。 解答 解答を開く 図の様に、3種類の大きさの円と正方形があり、正方形の2つの対角線の交点と円の中心は全て同じ位置に […]
ニュートン算-2-1（複数のチケット販売窓口に並ぶ列を処理する）
問題 問題（複数のチケット販売窓口に並ぶ列を処理する） コンサートチケットの販売窓口で販売開始時刻を待っている人々の列があり、列は毎分4人増えます。販売時刻となり、5つの窓口で販売を始めたところ50分で列が無くなりました。一旦窓口を閉め、その後先程と同じ人数の列ができたので、4つの窓口で販売を再開したところ65分で列が無くなりました。 販売開始時刻を待っている人々は何人ですか、また、販売開始の際 […]
ニュートン算-2-2（水そうに水道水を入れ、同時にポンプでくみ上げる）
問題 問題（水そうに水道水を入れ、同時にポンプでくみ上げる） 途中まで水のたまっている水そうに一定の量で水道水を入れています。この水そうの水をくみ上げて空にするためにポンプを9台使うと72分かかり、12台使うと48分かかります。一定時間にポンプのくみ上げる量は同じものとします。 （1）1分間の水道水の量はポンプ1台で1分間にくみ上げる量の何倍ですか。 （2）ポンプ11台を使うと水そうが空になるま […]
ベン図-2-1（2つのクイズを6年生全員に出した結果）
問題 問題（2つのクイズを6年生全員に出した結果） 解答 解答を開く 全員の数を1としてベン図にわかっている割合と人数を書き込む。 （答え）204人 hajizo ではまた～
ベン図-2-2（3種類のワクチンを打った人の数は）
問題 問題（3種類のワクチンを打った人の数は） ある地区では感染症に備えてA・B・Cの3種類のワクチン接種を行っています。接種状況を確認したところＡの済んだ人は全体の90％、Ｂの済んだ人は全体の88％、Ｃの済んだ人は全体の78％でした。さらに詳しく調べるとAは済んだがBとCはまだという人が全体の3％、AとBは済んだがCはまだという人が全体の11％、Bは済んだがAとCはまだという人が全体の5％、A […]
通過算-2-1（列車Aが列車Bに追いついてから追いこすまで）
問題 問題（列車Aが列車Bに追いついてから追いこすまで） 列車Aは時速144kmで、列車Bは時速54kmで走り、ある地点を列車の先頭が通過してから最後尾が通過するまでの時間はどちらも9秒です。列車Aが列車Bに追いついてから追いこすまで何秒かかりますか。 解答 解答を開く 列車Aは時速144kmで、列車Bは時速54kmで走り、ある地点を列車の先頭が通過してから最後尾が通過するまでの […]