場合の数-2-8（四天王寺中学2022/場合分けの練習、できる様になれば数え漏れなく答えが出せます）
問題 問題（四天王寺中学2022/場合分けの練習、できる様になれば数え漏れなく答えが出せます） 1個のさいころをくり返し投げて，同じ目が2回続けて出たら投げるのをやめます。このとき，出た目の合計を得点とします。 （1） 得点が6点となる目の出方は何通りありますか。 （2） 得点が8点となる目の出方は何通りありますか。 解答 解答を開く 1個のさいころをくり返し投げて，同じ目が2回 […]
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演習問題
推理-2-1（四天王寺中学2022/複数の条件の合致する数字を推理しよう）
問題 問題（四天王寺中学2022/複数の条件の合致する数字を推理しよう） Aさん，Bさん，Cさんの3人が，『ある整数』について次のように話しています。 Aさん：『ある整数』はその数と1でしか割り切れない。 Bさん：『ある整数』を3倍して，2を引いて4で割ると，割り切れて答えは19になる。 Cさん：24を7倍して『ある整数』で割ると，割り切れて答えは6になる。 3人のうち1人は『ある整数』について […]
割合と比-2-5（サレジオ学院中学2022/（2）は逆比を使うか、1つずつ数え上げる）
問題 問題（サレジオ学院中学2022/（2）は逆比を使うか、1つずつ数え上げる） 水の入っている水そうAと水そうB，そして，水を汲（く）みだすためのポンプが何本かあリます。また，水そうAに入っている水の量は水そうBに入っている水の量の2倍です。 はじめの20分は，全てのポンプを使って水そうAの水を汲みだします。 次に，ポンプの数をちょうど半分ずつに分け，半分で水そうAの水を，もう半分で水そうBの […]
立体の切断-2-4（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/切断面の形と分割された後の体積、難易度は低め）
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/切断面の形と分割された後の体積、難易度は低め） 下の図は1辺の長さが6cmの立方体で，DJ＝3cm，BI＝2cmです。 （1） 点E，J，Iを通る平面でこの立方体を切断するとき，切断面の線を解答用紙の立方体に書き込みなさい。ただし，裏側の線も書くこと。 （2） 点E，J，Iを通る平面でこの立方体を切断するとき，点Gを含む立体の体積を求めな […]
数の並び方-2-4（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/この年は類似問題が各学校で出題された）
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/この年は類似問題が各学校で出題された） 2022のように2種類の数字でつくられる4けたの整数は，2022も含めて□個あります。 解答 解答を開く 2022のように2種類の数字でつくられる4けたの整数は，2022も含めて□個あります。 【0を含まない場合】 2種類の数字でつくられる4けたの整数の並 […]
逆比-2-1（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/逆比の重要性を感じられる問題）
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/逆比の重要性を感じられる問題） 同じ高さまで水が入った2つの直方体の水そうがあります。2つの水そうの容積の比は9：32で，大きな水そうは小さな水そうの2倍の高さがあります。2つの水そうそれぞれに，さらに675mLずつ水を人れると，小さな水そうは全体の77%，大きな水そうは全体の28％まで水が入りました。大きな水そうにはじめから入っていた水 […]
つるかめ算-2-3（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/3種類の果物のつるかめ算）
問題 問題（栄東中学-東大クラス選抜1月12日-2022/3種類の果物のつるかめ算） ある店ではみかんを1個20円，りんごを1個80円，なしを1個90円で売っています。この店で栄くんがみかんをりんごより3個多くなるように合計46個買ったところ，代金は2570円でした。栄くんが買ったりんごは□個です。 解答 解答を開く ある店ではみかんを1個20円，りんごを1個80円，なしを1個9 […]
場合の数-2-7（駒場東邦中学2022/3進法のコインで買い物をする）
問題 問題（駒場東邦中学2022/3進法のコインで買い物をする） 0以上9以下の整数が書かれたコインが1枚ずつあり， ⓪＝1円相当，①＝3円相当，②＝9円相当，③＝27円相当，・・・のように， 書かれた数字が1ふえるごとに相当金額が3倍になる，仕組みになっています。この各コインを1枚ずつ持って買い物をするとき，次の問いに答えなさい。ただし，おつりにおいても同じ種類のコインは1枚ずつしかなく，やり […]
数の並び方-2-3（國學院大學久我山中学2022/何個あるか数えるのが面倒ですね）
問題 問題（國學院大學久我山中学2022/何個あるか数えるのが面倒ですね） $ \fbox{1} $，$ \fbox{2} $，$ \fbox{3} $，$ \fbox{4} $のカードが1枚ずつあり，この4枚のカードを並べて4けたの整数をつくります。次の問いに答えなさい。 （1） できる整数は全部で何個ですか。 （2） できる整数のうち奇数は全部で何個ですか。 （3） 次のルールにしたがって， […]
面積-2-3（香蘭女学校中等科2022/よく見かけますね、定番問題）
問題 問題（香蘭女学校中等科2022/よく見かけますね、定番問題） 1辺の長さが12cmの正方形ABCDがあリます。 点E，F，G，Hはそれぞれ辺AB，BC，CD，DA上にあリます。また，点Pは正方形の内部にあリます。 以下の問いに答えなさい。 （1） 図1において，三角形PABと三角形PCDの面積の和は何cm2ですか。 （2） 図2において，辺BFと辺DHの長さがどちらも7cmのとき，三角形P […]
容器の水-2-5（香蘭女学校中等科2022/１つの容器から別の容器へ流れ込む水の高さは）
問題 問題（香蘭女学校中等科2022/１つの容器から別の容器へ流れ込む水の高さは） 2つの空の水そうA，Bがあります。Aは高さが100cm，底面が1辺40cmの正方形です。Bは高さが25cm，底面が1辺60cmの正方形です。Aの側面には底面から30cmの高さのところに蛇口（イ）が取リ付けられています。 図のように，上方の蛇口（ア）から毎分20Lの水を入れます。Aにたまった水は蛇口（イ）から毎分1 […]
回転体-2-3（攻玉社中学2022/前半は簡単だが後半はやや難問）
問題 問題（攻玉社中学2022/前半は簡単だが後半はやや難問） 右の図のように、正三角形のそれぞれの辺の真ん中の点と頂点を結ぶ直線は3本引くことができます。この3本は1点Aで交わり、PA：AQ ＝2：1となります。 また、正方形の2本の対角線の交わる点をBとします。このような2つの点A、Bをそれぞれ「正三角形の中心」「正方形の中心」と呼ぶことにします。 （1） 図のように、1辺の長さが6cmの立 […]
旅人算-2-6（攻玉社中学2022/（1）が難しく、これが解けないと後の問題に進めない）
問題 問題（攻玉社中学2022/（1）が難しく、これが解けないと後の問題に進めない） 次の□にあてはまる数を求めなさい。 A，B，Cの3人が、学校と駅を結ぶ一本道を途中で引き返すことなく、それぞれ一定の速さで歩きます。8時ちょうどにAは学校から駅へ、Bは駅から学校へ向かって同時に出発し、9時48分にCはBの2倍の速さで駅から学校へ向かって出発しました。また、Aは9時ちょうどにBと、10時ちょうど […]
倍数算-2-1（攻玉社中学2022/２種類の倍数算がある問題）
問題 問題（攻玉社中学2022/２種類の倍数算がある問題） 兄と弟がはじめに持っている金額の比は7：3でした。兄は本を買い、2人の持っている金額の比が2：1になりました。その後、兄が弟に1000円わたしたので、持っている金額の比が4：5になりました。このとき、兄が買った本の値段は□円です。 解答 解答を開く 兄と弟がはじめに持っている金額の比は7：3でした。兄は本を買い、2人の持 […]
約束記号-2-2（攻玉社中学2022/込み入った計算の様に見えますが・・・）
問題 問題（攻玉社中学2022/込み入った計算の様に見えますが・・・） 2つの整数A，B（ただし、AはBより大きいとします）について「A☆B」という記号はA☆B＝$ \displaystyle \frac{1}{A-B} $＋$ \displaystyle \frac{1}{A+B} $という計算を表すものとします。 また、1つの式に☆が2つ以上あるときは、左側の☆から順に計算します。 このとき […]
数の性質-2-2（攻玉社中学2022/４つの条件が答えを教えてくれています）
問題 問題（攻玉社中学2022/４つの条件が答えを教えてくれています） 3つの整数A，B，Cについて、次のことがわかっています。 ・一番大きい数はAで、一番小さい数はCです。 ・3つの数の積は324です。 ・3つの数の和は27です。 ・3つの数はすべて3の倍数です。 このとき、A は□です。 解答 解答を開く 3つの整数A，B，Cについて、次のことがわかっています。 ・一番大きい […]
約数-2-1（恵泉女学園中学2022/3問目は地道に数え上げる時間がかかりそうな問題）
問題 問題（恵泉女学園中学2022/3問目は地道に数え上げる時間がかかりそうな問題） つまようじを何本か使って立方体を組み立てます。はじめに，下の図の一番左のような立方体をつくったとき，必要なつまようじの本数は12本で，これを1段目とします。次に，縦，横，奥に1本ずつのばしてつくった立方体を2段目，3段目…とします。 ここで，4段目の立方体に必要なつまようじの本数を考えます。縦，横，奥にそれぞれ […]
ダイヤグラム-2-7（慶應義塾中等部2022/作図作業も計算も面倒な問題）
問題 問題（慶應義塾中等部2022/作図作業も計算も面倒な問題） 太郎村、次郎君、花子さんの3人の家は、学校までのまっすぐな一本道に面しています。太郎君、次郎君、花子さんがこの順にそれぞれの家を出発して、学校までの道をそれぞれ一定の速さで歩き、学校に行きました。右のグラフは、太郎君が家を出発してからの時間と、太郎君と次郎君の間の距離の関係を表したものです。次の［ ］に適当な数を入れなさい。 （1 […]
面積-2-2（慶應義塾中等部2022/よくある求積問題です）
問題 問題（慶應義塾中等部2022/よくある求積問題です） 図のように、2つの正方形を組み合わせました。辺EHの長さが8cmで、辺AHと辺AEの長さの差が2cmであるとき、三角形AEHの面積は□cm2です。 解答 解答を開く 図のように、2つの正方形を組み合わせました。辺EHの長さが8cmで、辺AHと辺AEの長さの差が2cmであるとき、三角形AEHの面積は□cm2です。 &nbs […]
三角形と四角形-2-1（慶應義塾中等部2022/よく見かける二等辺三角形と正方形から比を見つける問題です）
問題 問題（慶應義塾中等部2022/よく見かける二等辺三角形と正方形から比を見つける問題です） 図のように、面積が60cm2で2辺AB，ACが等しい三角形と、正方形を組み合わせました。この正方形の1辺の長は□cmです。 解答 解答を開く 図のように、面積が60cm2で2辺AB，ACが等しい三角形と、正方形を組み合わせました。この正方形の1辺の長は□cmです。 &nb […]
消去算-2-4（慶應義塾中等部2022/魔法陣）
問題 問題（慶應義塾中等部2022/魔法陣） 右の図の9つのマスに数を1つずつ入れて、縦（たて）、横、斜（なな）めに並んだ3つの数の和がすべて等しくなるようにします。このとき、Aのマスに入る数は□です。 解答 解答を開く 右の図の9つのマスに数を1つずつ入れて、縦（たて）、横、斜（なな）めに並んだ3つの数の和がすべて等しくなるようにします。このとき、Aのマスに入る数は□です。 & […]
相当算-2-3（慶應義塾中等部2022/3日間に読んだページの割合から本のページ数を求める）
問題 問題（慶應義塾中等部2022/3日間に読んだページの割合から本のページ数を求める） ある本を読むのに、1日目は全部のページ数の$ \displaystyle \frac{5}{8} $よりも30ページだけ少なく読み、2日目は残りの0.6倍よりも5ページだけ少なく読み、3日目は残りの$ \displaystyle \frac{17}{25} $よりも5ページだけ多く読んだところ、35 ページ […]
旅人算-2-5（慶應義塾湘南藤沢中等部2022/一問目ができればあとは簡単）
問題 問題（慶應義塾湘南藤沢中等部2022/一問目ができればあとは簡単） 山の頂上にA町が，山のふもとにB町があり，2つの町は3240mはなれている。三田さんはA町を，藤沢さんはB町を同時に出発して，A町とB町の間を一往復した。 三田さんの登る速さと下る速さの比は5：9 藤沢さんの登る速さと下る速さの比は3：5 であり，登りも下りも藤沢さんの方が三田さんより毎分6m速いという。 （1） 三田さん […]
数列-2-6（慶應義塾湘南藤沢中等部2022/規則性をみつけて順番に数を出していこう）
問題 問題（慶應義塾湘南藤沢中等部2022/規則性をみつけて順番に数を出していこう） 右の図のように数のかかれた白いカードと黒いカードが並べてある。 （1） 10段目の左から4番目のカードの数を求めなさい。 （2） 15段目のすべての白いカードの数の和を求めなさい。 （3） ある段の白いカードの数の和と，黒いカードの数の和を比べたら，その差が61であった。そのような段は何段目と何段目ですか。 解 […]
転がる図形-2-4（久留米大学附設中学2022/最後の問題は図形問題をやりこんでいれば見たことがあるはず）
問題 問題（久留米大学附設中学2022/最後の問題は図形問題をやりこんでいれば見たことがあるはず） 下の（ 図1）のようなPQ=QR=3cmの直角二等辺三角形PQRがあり、2辺PQ,QR上を、2辺の長さが1cm, 2cmの長方形ABCDが①から④の状態まですべることなく転がっていきます。また、BCの真ん中の点をEとします。（円周率は3.14） （1） ①から④の状態になるまでにEが動いた道のりを […]
回転体-2-2（久留米大学附設中学2022/簡単な部類なので完答しましょう）
問題 問題（久留米大学附設中学2022/簡単な部類なので完答しましょう） 下の各問いに答えなさい。 （円周率は3.14とする。） （3辺の長さの比が3：4：5であるような三角形は、すべて直角三角形である。） （1） 右の（図1）のように、長さ16cmのえんぴつABが机の上にあり、ABの真ん中の点をM とします。また、MO=6cmのところに点Oがあり、ABとMOは垂直です。このえんぴ […]