問題
3桁（けた）の整数で，4，5，6のどれでも割り切れないものは全部で何個ありますか。
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解答
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3桁（けた）の整数で，4，5，6のどれでも割り切れないものは全部で何個ありますか。
100～999までの３桁の数は900個ある。
条件に当てはまる数を直接数えるには難があるので、ベン図のようにそれぞれ①～⑦に当てはまる数を数え、900個から①～⑦の和を引くことにする。【4の倍数】
1～999で4の倍数は、999÷4より249個
1～99で4の倍数は、99÷4より24個
→3桁の整数で４の倍数は249－24＝225個（①＋②＋③＋⑤）・・・㋐【5の倍数】
1～999で5の倍数は、999÷5より199個
1～99で5の倍数は、99÷5より19個
→3桁の整数で5の倍数は199－19＝180個（①＋②＋④＋⑥）・・・㋑【6の倍数】
1～999で6の倍数は、999÷6より166個
1～99で6の倍数は、99÷6より16個
→3桁の整数で6の倍数は166－16＝150個（①＋③＋④＋⑦）・・・㋒【20の倍数（4と5の公倍数）】
1～999で20の倍数は、999÷20より49個
1～99で20の倍数は、99÷20より4個
→3桁の整数で20の倍数は49－4＝45個（①＋②）・・・㋓【12の倍数（4と6の公倍数）】
1～999で12の倍数は、999÷12より83個
1～99で12の倍数は、99÷12より8個
→3桁の整数で12の倍数は83－8＝75個（①＋③）・・・㋔【30の倍数（5と6の公倍数）】
1～999で30の倍数は、999÷30より33個
1～99で30の倍数は、99÷30より3個
→3桁の整数で30の倍数は33－3＝30個（①＋④）・・・㋕【60の倍数（4と5と6の公倍数）】
1～999で60の倍数は、999÷60より16個
1～99で60の倍数は、99÷60より1個
→3桁の整数で60の倍数は16－1＝15個（①）・・・㋖
①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦を求めるにあたり、
（①＋②＋③＋⑤）＋（④＋⑥）＋⑦のまとまりで求める。①＋②＋③＋⑤＝㋐＝225
④＋⑥＝㋑－㋓＝180－45＝135
⑦＝㋒－㋔－㋕＋㋖＝150－75－30＋15＝60よって、（①＋②＋③＋⑤）＋（④＋⑥）＋⑦＝225＋135＋60＝420
900－420＝480（答え） 480個
100～999までの３桁の数は900個ある。
