場合の数-3-4（渋谷教育学園幕張中学2022/白黒の答案用紙で色を考える嫌な問題、これだけで試験時間が無くなりそう…）

問題

解答

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赤，青，黄，緑の4色を点灯することができるライトを4つ，左から一列に並べます。この4つのライトは，スイッチを押すたびにある規則にしたがって色が切り替わります。例えば，右の固のように
赤を青，青を青，黄を緑，緑を赤
に切り替わるような規則を定めると，スイッチを押すたびに，この規則にしたがって色が変わっていきます。
はじめ，ライトは左から順に赤，青，黄，緑に点灯しています。
次の各問いに答えなさい。

（1） はじめの状態からスイッチを1回押したとき，異なる4色のライトが点灯するような規則は何通り作れますか。

（2） はじめの状態からスイッチを2回続けて押したとき，ライトが左から順に赤，青，黄，緑に点灯するような規則は何通り作れますか。

（3） はじめの状態からスイッチを3回続けて押したとき，4つのライトは初めて赤ー色になりました。このような規則は何通り作れますか。

 

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（1）
1つ目のライトは4色のどれでもよい。
2つ目のライトは残り3色のどれでもよい。
3つ目のライトは残り2色のどれでもよい。
4つ目のライトは残りの1色。
4×3×2×1＝24通り。

（答え）　24通り

 

 

（2）

①　4つのライトとも色が変わらない場合
1通り。
②　3つのライトだけ色が変わらない場合
作れない。
③　2つのライトだけ色が変わらない場合
色の変わらない２つを選ぶ選び方は、$ \displaystyle \frac{4×3}{2×1} $＝6通り。
残りの２つは色が変わるものだけが対象。（①の場合は除くため）
④　1つのライトだけ色が変わらない場合
作れない。
⑤　4つのライトとも色が変わる場合

図の3通り。
合わせて、1＋6＋3＝10通り。

（答え）　10通り

 

（3）
赤のライトはずっと赤のままで、以下の6通り。

（答え）　6通り