場合の数-3-3（開智中学2021/序盤の問題の解き方が後半を解くヒントになっています）

1 問題
2 解答

問題

問題（開智中学2021/序盤の問題の解き方が後半を解くヒントになっています）

白と黒の2色の正方形のタイルがたくさんあります。これらを並べて大きな正方形を作るとき、並べ方が何通りあるかを考えます。ただし、回転や裏返しでちょうど重なるものは同じ並べ方として考えます。
例えば、2×2の正方形を作るとき図1から図3の3つの並べ方はすべて同じものであると考えます。よって、白のタイル2枚、黒のタイル2枚を並べて、2×2の正方形を作るときのタイルの並べ方は、図4と合わせて2通りになります。

（1）白のタイル8枚、黒のタイル1枚を並べて、3×3の正方形を作ります。このとき、タイルの並べ方は全部で何通りありますか。
（2）白のタイル7枚、黒のタイル2枚を並べて、3×3の正方形を作ります。このとき、タイルの並べ方は全部で何通りありますか。
（3）白のタイル14枚、黒のタイル2枚を並べて、4×4の正方形を作ります。このとき、タイルの亜べ方は全部で何通りありますか。

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解答

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（1）

・黒のタイルを①に置いたとき、同様の形になるのは③，⑦，⑨
・黒のタイルを②に置いたとき、同様の形になるのは④，⑥，⑧
・黒のタイルを⑤に置いたとき、同様の形はない
よって、３通り。

（答え）　３通り

（2）
（1枚目の黒のタイルを置く場所は（1）の結果から3カ所）

【1枚目の黒のタイルを①に置いた場合】
・2枚目の黒のタイルを②に置いたとき、同様の形になるのは④ 〇
・2枚目の黒のタイルを③に置いたとき、同様の形になるのは⑦ 〇
・2枚目の黒のタイルを⑤に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑥に置いたとき、同様の形になるのは⑧ 〇
・2枚目の黒のタイルを⑨に置いたとき、同様の形はない〇
以上の5通り。

【1枚目の黒のタイルを②に置いた場合】
・2枚目の黒のタイルを①，③に置く形はすでに数えた ×
・2枚目の黒のタイルを④に置いたとき、同様の形になるのは⑥ 〇
・2枚目の黒のタイルを⑤に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑦，⑨に置く形はすでに数えた ×
・2枚目の黒のタイルを⑧に置いたとき、同様の形はない〇
以上の3通り。

【1枚目の黒のタイルを⑤に置いた場合】
・2枚目の黒のタイルを①，③，⑦，⑨に置く形はすでに数えた
・2枚目の黒のタイルを②，④，⑥，⑧に置く形はすでに数えた
なし

合わせて5＋3＝8通り

（答え）　8通り

（3）
（（１）と（２）の数え方と同様に進める。）

【1枚目の黒のタイルの置き方】
・黒のタイルを①に置いたとき、同様の形になるのは④，⑬，⑯
・黒のタイルを②に置いたとき、同様の形になるのは③，⑤，⑧，⑨，⑫，⑭，⑮
・黒のタイルを⑥に置いたとき、同様の形になるのは⑦，⑩，⑪

【1枚目の黒のタイルを①に置いた場合】
・2枚目の黒のタイルを②に置いたとき、同様の形になるのは⑤ 〇
・2枚目の黒のタイルを③に置いたとき、同様の形になるのは⑨ 〇
・2枚目の黒のタイルを④に置いたとき、同様の形になるのは⑬ 〇
・2枚目の黒のタイルを⑥に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑦に置いたとき、同様の形になるのは⑩ 〇
・2枚目の黒のタイルを⑧に置いたとき、同様の形になるのは⑭ 〇
・2枚目の黒のタイルを⑪に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑫に置いたとき、同様の形になるのは⑮ 〇
・2枚目の黒のタイルを⑯に置いたとき、同様の形はない〇
以上の9通り。

【1枚目の黒のタイルを②に置いた場合】
・2枚目の黒のタイルを①，④，⑬，⑯に置く形はすでに数えた ×
・2枚目の黒のタイルを③に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑤に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑥に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑦に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑧に置いたとき、同様の形になるのは⑨ 〇
・2枚目の黒のタイルを⑩に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑪に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑫に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑭に置いたとき、同様の形はない〇
・2枚目の黒のタイルを⑮に置いたとき、同様の形はない〇
以上の10通り。